- بروک تایلر(لُ)
بروک. ریاضی دان مشهور انگلیسی است که در سال 1685 میلادی در ’ادمونتون’ متولد شد و بسال 1731 در ’لندن’ درگذشت. وی مدتی از دوران اولیۀ زندگی خود را بترتیب، صرف مطالعه در موسیقی، نقاشی، علم حقوق، فلسفه، فیزیک و هندسه کرد و در سال 1701 میلادی در کامبریج پذیرفته شد و به تحصیل ریاضیات عالیه پرداخت در سال 1709 بدریافت دیپلم حقوق و در سال 1712 به عضویت انجمن سلطنتی لندن نایل آمد، و سپس در سال 1712 در رشتۀ حقوق دکتر شد و دوران آخر زندگی خود را صرف مطالعۀ فلسفه و مذهب کرد. اثر پراهمیت او بنام ’متدوس اینکرمنتوروم دیرکتا ات اینورسا’ است که در سالهای 1715-1717 میلادی منتشر شد و این مبحث آغاز محاسبۀ فاصله محدود قرار گرفت ودر فرمول مشهوری که بنام مصنف معروف شده است (فرمول یا سری تایلر) خلاصه میگردد. تایلر از سال 1714 ببعد منشی انجمن پادشاهی لندن بود. فرمول یا سری تایلر:
این فرمول اجازه میدهد که تابعی را برحسب توانهای نمو متغیر بسط دهیم. اگر (x) f یک تابع کامل از درجۀn باشد و h نمو متغیر، برحسب این فرمول تابع (x) f چنین میشود:
... + (x) سf 2. h21 + (x) سf h1 + (x) f = (h+x) f
. (x) (n) f n... 2. hn1+... + (x) (p) f p... 2. hp1 +
اگر (x) f یک کثیرالجمله کامل نباشد.
n... 2. 1 (n) h...+ (x) سf n1 + (x) f = (h+x) f) f
R1+ (x) (n) f
در اینجا R یک جملۀ مکمل است اگر مشتق (1+x) ام نسبت به مقادیر مختلف x در فاصله x و h+x تابع (x) f متصل باشد می توان به شکل زیر درآورد:
، (qh + x) 1+ fn (1+P) n... 2. P1- n (q - 1 hn
Pعدد مثبت غیر معین است، q عددی است که بین یک و صفر می باشد.
در اینجا اگر 0 = P شود، جملۀمتمم ’کوشی’ بدست می آید.
. (h q + x) 1 + fn n... 2. n1 (q - 1) 1 + hn = R
و اگر n = p شود، جملۀ متمم ’لاگرانژ’ بدست می آید.
. (h q + x) (1 + n) f (1 + n) n...2. 11 + hn = R
این فرمول تایلر برای چندین متغیر نیز تعمیم می یابد
این فرمول اجازه میدهد که تابعی را برحسب توانهای نمو متغیر بسط دهیم. اگر (x) f یک تابع کامل از درجۀn باشد و h نمو متغیر، برحسب این فرمول تابع (x) f چنین میشود:
... + (x) سf 2. h21 + (x) سf h1 + (x) f = (h+x) f
. (x) (n) f n... 2. hn1+... + (x) (p) f p... 2. hp1 +
اگر (x) f یک کثیرالجمله کامل نباشد.
n... 2. 1 (n) h...+ (x) سf n1 + (x) f = (h+x) f) f
R1+ (x) (n) f
در اینجا R یک جملۀ مکمل است اگر مشتق (1+x) ام نسبت به مقادیر مختلف x در فاصله x و h+x تابع (x) f متصل باشد می توان به شکل زیر درآورد:
، (qh + x) 1+ fn (1+P) n... 2. P1- n (q - 1 hn
Pعدد مثبت غیر معین است، q عددی است که بین یک و صفر می باشد.
در اینجا اگر 0 = P شود، جملۀمتمم ’کوشی’ بدست می آید.
. (h q + x) 1 + fn n... 2. n1 (q - 1) 1 + hn = R
و اگر n = p شود، جملۀ متمم ’لاگرانژ’ بدست می آید.
. (h q + x) (1 + n) f (1 + n) n...2. 11 + hn = R
این فرمول تایلر برای چندین متغیر نیز تعمیم می یابد